難化!? 東工大数学2026(令和8年)を東工大首席が解いてみた

2026年3月4日 2026年3月4日

塾長佐瀬

はじめまして。
私は東京科学大専門オンライン個別指導:科学大塾で塾長をしている、現役東京科学大(旧東工大)生です。
主な経歴としては、東工大オープン全学院中一位や、東工大に全学院の首席で合格したことがあります。

今回は、2026年度の東工大数学の過去問を解いていきます。

1 第一問
2 第二問
3 第三問
4 第四問
5 第五問
6 全体を通して

第一問

第一問は、有理数、無理数関係の、論証問題でした。

(1)は、とても簡単なので、必ず正解したいです。

(2)は、p,qの値はすぐにわかりますが、私の答案内で示している補題の証明が難しいです。
この補題のnが3になった命題の証明を、以前私は解いたことがあったので、比較的簡単に解けました。
解いたことがないと、補題の証明の式変形を試験本番でするのは、なかなか難しいと思います。
仮に補題の証明がわからなかったとしても、条件を満たすp,qをどんな方法でもよいので求めて、部分点はもらうようにしましょう。

第二問

第二問は、場合の数の問題でした。

(1)は、誘導の意味を考えれば、難しくないはずです。

(2)は、(1)の誘導を利用したいところです。
x+y+z=kの場合なら、重複組み合わせの公式が利用できることに、気が付けないときついかもしれません。

(3)は、(2)までと直接的なつながりがありません。
最初は(2)を誘導として利用することを考えたのですが、私にはうまく利用する方法がわかりませんでした。
そのため、(3)はほとんどゼロベースで考える必要があります。
私は好奇心から、計算量の多い解法を利用しましたが、現実的には不等式の条件を無視して数えたのち、重複して数えている分を調整する解法の方が良いでしょう。

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第三問

第三問は、図形と方程式の問題でした。

(1)は、基本問題なので、絶対に落とせません。

(2)も、基本問題なので、落とせません。
私は円周角の定理を用いた解法を用いましたが、ベクトルの内積を用いる解法の方が素直な解答でしょう。

(3)は、相似条件に何を使うかで、計算量が大きく異なります。
そのため、計算を実際に始める前に、どの条件が一番計算しやすそうか吟味することが大切です。
(3)も比較的簡単なので、完答を目指したい問題です。

第四問

第四問は、複素数平面の問題でした。

(1)は、解法を思いつくのは難しくないですが、計算量が多く大変です。
私はブログ用に最も愚直な解法を使いましたが、グラフを書いて平行移動や回転させることで、対称軸を無理やり実軸上に移動させてしまうと、計算量としては少なくなります。

(2)は、漸化式を解くのが、かなり難しいです。
f(n+1)とf(n)の形に上手くまとめる意識を持っても、正しい変形にたどり着くのには、かなり試行錯誤が必要です。
試験本番での実践的なことを考えると、漸化式を立式した段階で詰まってしまったら、とばして他の問題を解きに行くので良いでしょう。

第五問

第五問は、積分の問題でした。
2026年度では唯一の、小問のない大問です。

まず、左辺の極限を求めなければいけません。
いきなり被積分関数を不等式評価をして、挟み撃ちをしようとしても上手くいかなそうです。
sin^2を半角公式で次数下げすれば、部分積分をして実際に積分が計算できる形になることに気が付けてしまえば、こっちのものです。
その後は、極限の収束値に予測を立てて、それを示せる形に変形していきましょう。